שיעור 74: מציאת פיתול עם פונקציה מורכבת ונגזרת מכפלה

מציאת נקודות פיתול ותחומי קעירות וקשר f (x) f'(x) f" (x)

1🔵 סעיף א: ערכי x של נקודות הפיתול – נגזרת מכפלה, גורם משותף ובדיקת סימן

2🟣 סעיף ב: תחומי קעירות מעלה ומטה

📄 נוסח השאלה

נתונה נגזרת של פונקציה: f′(x) = x(x+4)³

א. מצא ערכי x של נקודות הפיתול של הפונקציה.

ב. מצא תחומי קעירות מעלה ומטה.

🔵 סעיף א: ערכי x של נקודות הפיתול – נגזרת מכפלה, גורם משותף ובדיקת סימן

מצא ערכי x של נקודות הפיתול של הפונקציה.

נתונה הנגזרת, לכן גוזרים רק עוד פעם אחת ומשווים לאפס: f″(x) = 0

נגזרת של מכפלה:

[f(x)·g(x)]′ =

f′(x)·g(x) + f(x)·g′(x)

x – הביטוי הראשון, (x+4)³ – השני (נגזרת מורכבת: 3(x+4)²·1).

f″(x) = 1·(x+4)³

+ 3(x+4)²·1·x = 0

(x+4)³ + 3x(x+4)² = 0

גורם משותף (x+4)²:

(x+4)²[(x+4) + 3x] = 0

(x+4)²(4x+4) = 0

🔵 סעיף א: ערכי x של נקודות הפיתול – נגזרת מכפלה, גורם משותף ובדיקת סימן · המשך

(x+4)²(4x+4) = 0

(x+4)² = 0 ← x+4 = 0 ← x = −4

4x+4 = 0 ← 4x = −4 ← x = −1

שתי נקודות חשודות לפיתול. (x+4)² תמיד חיובי, לכן מספיק להציב ב-4x+4:

מציבים x = −5: 4·(−5) + 4 = −16 < 0

מציבים x = −2: 4·(−2) + 4 = −4 < 0

מציבים x = 0: 4·0 + 4 = 4 > 0

x	x<−4	−4	−4<x<−1	−1	x>−1
הצבה	x=−5		x=−2		x=0
f″(x)	−	0	−	0	+
f(x)	∩		∩	פיתול	∪

ב-x = −4: ∩ ו-∩ – אין שינוי, לא נקודת פיתול.

🔵 סעיף א: ערכי x של נקודות הפיתול – נגזרת מכפלה, גורם משותף ובדיקת סימן · המשך

ב-x = −4: ∩ ו-∩ – אין שינוי, לא נקודת פיתול.

ב-x = −1: ∩ ← ∪ – יש שינוי, נקודת פיתול.

✅ x = −1 (ב-x = −4 אין פיתול)

🟣 סעיף ב: תחומי קעירות מעלה ומטה

מצא תחומי קעירות מעלה ומטה.

מהטבלה של סעיף א: f″(x) > 0 ← ∪ , f″(x) < 0 ← ∩

✅ ∩ x < −4 , −4 < x < −1
∪ x > −1

📌 לזכור

💡 כשנתונה f′(x) גוזרים רק פעם אחת כדי להגיע ל-f″(x). גורם בריבוע (כמו (x+4)²) לא משנה סימן – בנקודה שהוא מאפס הקעירות לא מתחלפת, ולכן אין שם פיתול.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא